LOGICAPROPOSICIONAL - LÓGICA SIMBÓLICA

LÓGICA SIMBÓLICA:

• Lógica simbólica: es la que estudia sistemáticamente las proposiciones, los razonamientos y las demostraciones para lo cual utiliza un lenguaje constituido por símbolos convencionales que representan estructuras. La lógica simbólica es aquella que se refiere a las proposiciones y que también se conoce con el nombre de Calculo Proposicional.

 

El propósito de la lógica simbólica consiste en establecer un lenguaje simbólico artificial que se pueda utilizar para simplificar los argumentos lógicos complicados El gran matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716) fue el primero en concebir este planteamiento cuando a la edad de 14 años intentó reformar la lógica clásica. Leibniz llamó a la lógica simbólica característica universal y escribió en 1666 que deseaba crear un método general en el cual todas las verdades de la razón serían reducidas a una especie de cálculos Al mismo tiempo, esto constituiría un tipo de lenguaje o escritura universal, pero infinitamente distinto de todos los proyectados hasta ahora, ya que los símbolos, e incluso las palabras contenidas en él, dirigirían la razón; y los errores, excepto los de facto, serían meras equivocaciones en los cálculos. Sería muy difícil formar o inventar este lenguaje o característica, pero muy fácil de entenderlo sin necesidad de diccionarios.

Este sueño no se realizó hasta que el matemático inglés George Boole (1815-1864) separó los símbolos de las operaciones matemáticas de los conceptos sobre los cuales operaban y estableció un sistema factible y sencillo de lógica simbólica. En 1859, Boole expuso sus ideas en su obra An investigation of the Laws of Thought (Investigación de las leyes del pensamiento). Desgraciadamente, este trabajo no recibió buena aceptación. y no fue hasta que Bertrand Russell (1872-1970) y Alfred North White-head (1861-1947)utilizaron la lógica simbólica en su obra Principia Matemática que el mundo de la matemática dio importancia a las ideas propuestas inicialmente por Leibniz alrededor de 250 años antes.

En este libro se tratará de responder a la pregunta, ''¿Cómo podemos llegar a ser más lógicos?''. Se pretende aplicar la lógica no solamente en el trabajo formal ordinario sino también en la vida diaria. Es necesario poder comunicarse de manera inteligente con los demás; se requiere adquirir capacidad para analizar los argumentos de nuestros legisladores y dirigentes; necesitamos ser consumidores inteligentes para analizar las afirmaciones de los anunciantes. Bien sea que nos agrade o no, la lógica es una parte importante del mundo que nos rodea, y en este libro sentaremos las bases que nos ayudarán a ser más "lógicos".

Proposiciones

La lógica es un método de razonamiento que no acepta conclusiones, excepto las que son inevitables. Esto se puede lograr debido a la forma estricta en que se define cada uno de los conceptos. Esto es, todo debe definirse de manera que no dé lugar a dudas o imprecisiones en su significado. Nada puede darse por supuesto, y las definiciones de diccionario no son normalmente suficientes. Por ejemplo, en el lenguaje ordinario un enunciado u oración se puede definir como "una palabra, o grupo de palabras, que declara, pregunta, ordena, solicita, o exclama algo; unidad convencional del habla o escritura coherente, que normalmente contiene un sujeto y un predicado, que empieza con letra mayúscula y termina con un punto." Sin embargo, en lógica simbólica una oración tiene un significado mucho más limitado y se llama proposición.

PROPOSICIÓN Una proposición es una oración que es verdadera o falsa, pero no verdadera y falsa a la vez.

Si la oración es una pregunta o una orden, o si es demasiado imprecisa (o carece de sentido), entonces no se puede clasificar como verdadera o falsa, así que no se llamaría proposición.

EJEMPLO 1

1. Neil Armstrong caminó sobre la luna.
2. 3 + 2 7.
3. El Pato Donald es presidente.

Todas estas oraciones son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas. Por otro lado, consideremos las expresiones

4. ¡Márchate!
5. 3 + x = 7.
6. ¿Qué estás haciendo?

Estas no son proposiciones en virtud de la definición dada, ya que no se pueden clasificar satisfactoriamente como verdaderas o falsas.

Pueden surgir dificultades al simplificar argumentos debido a su extensión, a la imprecisión de las palabras que se utilizan, al estilo literario, o al posible impacto emocional de las palabras de que constan. Consideremos los dos argumentos siguientes.

1.-Si George Washington fue asesinado, está muerto.

Por lo tanto, si está muerto, fue asesinado.

2.- Si consumes heroína, primeramente consumiste marihuana.

Por lo tanto, si primero consumiste marihuana, consumes heroína.

Lógicamente, estos dos argumentos son exactamente iguales, y ambos son formas no válidas de razonamiento. Casi todo mundo admitiría que el primer argumento es absurdo, pero muchos aceptan el segundo argumento debido al aspecto emocional de las palabras empleadas en él.

Para evitar estas dificultades y ayudar a la simplificación de los argumentos lógicos complicados, puede establecerse el lenguaje simbólico artificial a que nos referimos anteriormente. El lenguaje que se inventa aquí es necesariamente más simple que cualquier lenguaje natural; es una especie de taquigrafía notacional. Se denotan las proposiciones simples con literales, tales como p, q, r, s,..., y luego se definen ciertos conectivos. Nuestra meta, en la medida en que sea posible, consiste en:

1. traducir las proposiciones del lenguaje ordinario a la forma simbólica

2. simplificar la forma simbólica.

3. traducir la forma simplificada de nuevo a proposiciones del lenguaje ordinario.

Para los fines de este libro, se supondrá que la traducción en un sentido y en otro entre el lenguaje ordinario y el simbólico se puede efectuar de manera sencilla. En realidad, no siempre sucede así, desafortunadamente. El lenguaje ordinario puede tener relaciones sutiles que sobrepasan el significado exacto de las palabras de una oración simple. Se deben tener presentes las interpretaciones que se dan a los símbolos de un problema particular. Al traducir, debemos preguntarnos qué significa la oración en el lenguaje natural, y luego se debe tratar de encontrar una proposición en lenguaje simbólico que tenga, hasta donde sea posible, el mismo significado.

Se puede evitar el problema de la extensión considerando solamente proposiciones simples unidas por ciertos conectivos bien definidos, tales como no, y, o, ni... ni, si... entonces, a menos que, debido a que, y así sucesivamente.

Una proposición compuesta se forma combinando proposiciones simples con operadores, o conectivos. De la definición básica de proposición, vemos que el valor de verdad de cualquier proposición puede ser o verdadero (T) o falso (F). 

CLASIFICACIÓN DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

La Negación: la conectiva “no” es la que se antepone a una proposición para cambiar su valor de verdad y se representa por el siguiente símbolo “~”.

La Conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo “y”, y se representa con el siguiente símbolo: “ð”.

La Disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógica “o”, que se representa de la manera siguiente: “V”.

La Disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta por dos proposiciones simples entrelazas por el conectivo “o…o” y se representa así: “V”.

La Condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva “si…entonces…”, que se representa de la forma siguiente: “→“. La proposición que aparece entre las palabras” Si y Entonces”, se denomina antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra “Entonces”, se le llama consecuente o conclusión.

La Bicondicional o Doble Implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si y solo si” y se representa así: “ð”

VALOR DE El valor de verdad de una proposición simple puede ser verdadero (T) o bien falso (F).

• VERDAD

El valor de verdad de una proposición compuesta es verdadero o falso y depende sólo de los valores de verdad de sus partes componentes simples. Se determina empleando la regla de conexión de dichas partes por medio de operadores bien definidos, tales como y, o, no, si... entonces, ni... ni, a menos que, y debido a que.

No podemos suponer que se conocen los significados de los conectivos y, o, no, y así sucesivamente, aunque parecen obvios y sencillos. La fuerza de la lógica radica en que no deja ningún significado al azar o a la interpretación individual. No obstante, al definir los valores de verdad correspondientes a dichos conectivos, trataremos de ajustarnos al uso común.

• CONECTIVOS LÓGICOS 

En lógica, una conectiva lógica, o simplemente conectiva, es un símbolo que se utiliza para conectar dos fórmulas, de modo que el valor de verdad de la fórmula compuesta dependa del valor de verdad de las fórmulas componentes.

Los conectivos lógicos son aquellos que sirven para formar proposiciones compuestas. Simbólicamente los conectivos se representan del modo siguiente:

Conectivo	Nombre Lógico	Símbolo
No	Negación	~
Y	Conjunción	ð
O	Disyunción Inclusiva	V
O…O	Disyunción Exclusiva	V
Si Entonces	Implicación o Condicional	→
Si Solo Si	Doble Implicación o Bi-condicional	ð

• NEGACIÓN

p	~p
T	F
F	T

La negativa de cualquier proposición p se llama negación y se simboliza mediante ~p. La Tabla 3 proporciona una definición clara de la negación.

Tabla 3

DEFINICIÓN DE LA NEGACIÓN

EJEMPLO 2 Si t: Octavio está diciendo la verdad, entonces

~ t: Octavio no está diciendo la verdad.

También se puede traducir ~ t como "no ocurre que Octavio está diciendo la verdad", o bien, "no es cierto que Octavio está diciendo la verdad".

Cualquier proposición puede ser negada, pero se requiere tener cuidado con la manera en que se forme la negación de una proposición compuesta. La negación de

Tengo una moneda de 1000 pesos y una de 5000 en mi bolsillo.

Se simboliza mediante (p L q) y se traduce como

No es cierto que tengo una moneda de 1000 pesos y una de 5000 en mi bolsillo.

La negación no se forma denegando cada una de las proposiciones simples. Al negar una proposición, no se debe alterar dicha proposición. Por ejemplo, sean

b: El carro de Juan es azul.

c: El carro de Juan es rojo.

La proposición c no es la negación de la proposición b, aunque no pueda ser que ambas sean verdaderas. La negación de b es

~ b: El carro de Juan no es azul.

y la negación de c es la proposición

~ c: El carro de Juan no es rojo.

Se debe tener cuidado al negar proposiciones que contienen las palabras todos, ninguno, o algunos.

 

EJEMPLO 3 Escribir la negación de: Todos los estudiantes tienen lápices.

Solución Veamos si son respuestas correctas las proposiciones "Ningún estudiante tiene lápices", o bien "Todos los estudiantes carecen de lápices". Recuérdese que si una proposición es falsa, entonces su negación debe ser verdadera. La negación correcta es

No todos los estudiantes tienen lápices.

O bien

Por lo menos un estudiante no tiene lápiz.

O bien

Algunos estudiantes no tienen lápices.

En matemáticas, la palabra algunos se emplea en el sentido de "por lo menos unos". La Tabla 4 proporciona algunas de las negaciones comunes.

Proposición	Negación
Todos	Algunos…no
Algunos	Ningún
Algunos…no	Todos
Ningún	Algunos

  

Tabla 4

• NEGACIÓN DE TODOS, ALGUNOS Y    NINGUNO

 EJEMPLO 4 Escribir la negación de cada una de las proposiciones siguientes:

a. Todas las personas tienen compasión.

b. Algunos animales son sucios.

c. Algunos estudiantes no llevan el curso de matemáticas I.

d. Ningún estudiante es entusiasta.

Solución

a. Algunas personas no tienen compasión.

b. Ningún animal es sucio.

c. Todos los estudiantes llevan el curso de matemáticas I.

d. Algunos estudiantes son entusiastas.

 

• CONJUNCIÓN

Conjunción

Si p y q representan dos proposiciones simples, entonces la proposición compuesta "p y q" utiliza el operador llamado conjunción. La palabra y se simboliza con L .

Por ejemplo, la proposición

Tengo una moneda de l000 pesos en mi bolsillo y tengo una moneda de5000 pesos en mi bolsillo.

Es una proposición compuesta. ¿Cuándo será verdadera esta proposición? Existen cuatro posibilidades concretas:

1. Tengo una moneda de 1000 pesos en mi bolsillo. Tengo una moneda de 5000 pesos en mi bolsillo.

2. Tengo una moneda de 1000 pesos en mi bolsillo. No tengo una moneda de 5000 pesos en mi bolsillo.

3. No tengo una moneda de 1000 pesos en mi bolsillo. Tengo una moneda de 5000 pesos en mi bolsillo.

4. No tengo una moneda de 1000 pesos en mi bolsillo. No tengo una moneda de 5000 pesos en mi bolsillo.

p	q
T	T
T	F
F	T
F	F

Representemos con p y q las proposiciones simples, de manera que:

p: Tengo una moneda de 1000 pesos en mi bolsillo.

q: Tengo una moneda de 5000 pesos en mi bolsillo.

Estas cuatro posibilidades se pueden resumir como sigue:

 Vemos que la única ocasión en que la proposición original.

Tengo una moneda de 1000 pesos en mi bolsillo, y tengo una moneda de 5000 pesos en mi bolsillo.

Resulta verdadera es cuando p y q son ambas verdaderas; de lo contrario, resulta falsa Así que definimos pL q según la Tabla 1.

p q	p L q
T T	T
T F	F
F T	F
F F	F

Tabla 1

DEFINICIÓN

DE CONJUNCIÓN

Es importante notar que no se requiere que las proposiciones p y q estén relacionadas. Por ejemplo,

Los peces nadan y Neil Armstrong caminó sobre la luna es una proposición compuesta verdadera.

• DISYUNCIÓN  (INCLUSIVA Y EXCLUSIVA).

La formalización de enunciados del lenguaje natural no tiene especial dificultad en el caso de la disyunción, aunque sí hay algunas sutilezas con las que conviene familiarizarse.

Como hemos dicho, la disyunción "p q" será verdadera en caso de que p sea verdadera, o q sea verdadera, o tanto p como q sea verdadera: se trata de la Disyunción inclusiva. Siempre que utilicemos en el lenguaje natural la conjunción disyuntiva "o" en este sentido, utilizaremos el símbolo " ".

Los ejemplos que hemos venido viendo hasta este momento se basan en esta interpretación inclusiva de la disyunción. Por ejemplo, cuando decimos que para optar a un puesto de trabajo hay que saber inglés o francés, interpretamos que alguien que sabe inglés puede optar a dicho trabajo, alguien que sabe francés también, y, por supuesto, alguien que sepa tanto inglés o francés también.

Pero también existe la llamada Disyunción exclusiva, que viene a decir que al menos una de las opciones es verdadera, pero sólo una. En este sentido exclusivo, si en "p q", p es verdadera y q también lo es, la disyunción exclusiva es falsa.

Por ejemplo, en el lenguaje natural empleamos este sentido exclusivo de la disyunción cuando decimos que alguien es cristiano o musulmán. Si alguien es cristiano, si es consecuente con ello no podrá ser musulmán, y viceversa. O cuando decimos que un examen se aprueba o se suspende.

En este caso se utiliza el símbolo " " o bien el símbolo " ". La tabla de verdad de la disyunción exclusiva sería la siguiente:

p	q	p q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

En este trabajo utilizaremos solamente la disyunción en sentido inclusivo. Hay que hacer notar que la disyunción exclusiva puede definirse utilizando las siguientes combinaciones de negación, conjunción y disyunción, es decir, "p q" equivale a cualquiera de las siguientes expresiones:

• (p q) ¬(p q)
• (p ¬q) (¬p q)
• ¬(p q) ¬(¬p ¬q)

• LA CONDICIONAL

Si – Entonces

La proposición "si p, entonces q" se llama condicional. Se simboliza por medio de p q; p se llama hipótesis o antecedente, y q se denomina conclusión o consecuente. La situación de la condicional es semejante a la que se encontró en el caso de la palabra o. Esto es, en el lenguaje común utilizamos el conectivo si-entonces en varias formas. Considérese el ejemplo siguiente que ilustra los diferentes sentidos de la condicional.

1. Se puede utilizar si-entonces para indicar una relación lógica, es decir, una en la que el consecuente se deduce lógicamente del antecedente:

Si ~(~ p) tiene el mismo valor de verdad que p, entonces p puede reemplazar a ~ (~ p)

2. Se puede emplear si-entonces para indicar una relación de causa:

Si Juan deja caer esa piedra, entonces me golpeará el pie.

3. Se puede usar si-entonces para comunicar una decisión de parte de la persona que habla:

Si Juan me lanza esa piedra, entonces lo golpearé.

4. Se puede utilizar si-entonces cuando el consecuente se deduce del antecedente por la propia definición de las palabras empleadas:

Si Juan conduce un Oldsmobile, entonces Juan guía un automóvil.

5. Por último, se puede emplear si-entonces para efectuar una implicación material A veces la condicional se usa cuando no hay una relación lógica; de causa o de definición, entre el antecedente y el consecuente. A menudo se utiliza en forma humorística o enfática:

Si Juan obtuvo la máxima nota en ese examen, entonces yo soy tío de un mono.

El consecuente es obviamente falso y la persona que habla desea poner énfasis en que el antecedente también es falso.

Nuestra tarea consiste en tratar de idear una definición de la condicional que se aplique en todos estos tipos de proposiciones de la forma si-entonces. Plantearemos el problema preguntando en qué circunstancias una condicional dada sería falsa. Consideremos otro ejemplo.

Supongamos que una persona le hace una promesa a otra. "Si gano el concurso, entonces te daré 10 000 pesos." Si cumple su promesa, decimos que la proposición es verdadera; si la incumple, decimos que es falsa. Sean

p: Gana el concurso.

q: Te dará 10 000 pesos.

La promesa se simboliza con p ® q. Hay cuatro posibilidades:

p q

Caso 1 T T Gana el concurso; dará 10 000 pesos.

Caso 2: T F Gana concurso; no dará 10 000 pesos.

Caso 3: F T No gana el concurso; dará 10 000 pesos.

Caso 4: F F No gana el concurso; no dará 10 000 pesos

¿Cuándo se habrá quebrantado la promesa?

La única ocasión en que se puede decir que ello ha ocurrido es en el caso 2. La prueba de una condicional consiste en determinar cuándo es falsa. En símbolos,

p ® q es falsa siempre que p L ( ~ q) sea verdadera. Esto proviene del caso 2.

O bien

p ® q es verdadera siempre que p L (q) sea falsa

Esto equivale a decir que

p ® q es verdadera siempre que ~ [ p L ( ~ q)] es verdadera.

Construyamos una tabla de verdad para ~ [ p L (~ q)].

p q ~ q ~ p L (~ q) [ p L ( ~ p)]

T T F F T

T F T T F

F T F F T

F F T F T

Usamos esta tabla de verdad para definir la condicional p® q, como se muestra en la Tabla 7.

Tabla 7 DEFINICIÓN DE LA CONDICIONAL

p q p ® q T T T T F F F T T F F T

Los ejemplos siguientes ilustran la definición de la condicional dada en la Tabla 7.

EJEMPLO 1 Caso 1: T ® T

Si 7 < 14, entonces 7 + 2 < 14 + 2.

Esta es una proposición verdadera, ya que ambas componentes son también verdaderas.

EJEMPLO 2 Caso 2: T ® F

Si 7 + 5 = 12, entonces 7 + 10 = 15.

Esta es una proposición falsa, puesto que el antecedente es verdadero pero el consecuente es falso.

EJEMPLO 3 Caso 3: F ® T

Si tú tienes seis piernas, entonces George Washington  fue presidente

Verdadera, ya que el consecuente es verdadero (y si el consecuente es verdadero, la implicación completa es verdadera, sea o no verdadero el antecedente).

El ejemplo 3 muestra que la condicional, en matemáticas, no implica ninguna relación causa – efecto. Dos proposiciones cualesquiera se pueden unir por medio del conectivo condicional, y el resultado debe ser T o F.

EJEMPLO 4 Caso 4: F ® F

Si 16 = 8, entonces 8 = 4.

Esta es una proposición verdadera, ya que ambas componentes son falsas.

No es necesario enunciar primero la parte si de una implicación. Todas las proposiciones siguientes tienen el mismo significado:

1. Si gana el concurso, entonces dará 10 000 pesos.
2. Que gane el concurso implica que dará 10 000 pesos.
3. Dará 10 000 pesos si gana el concurso.
4. Gana el concurso sólo si dará 10 000 pesos.
5. Para que dé 10 000 pesos, es suficiente que gane el concurso.
6. Que gane el concurso hace necesario que dé. 10 000 pesos.
7. Dará 10 000 pesos con la condición de que gane el concurso
8. Dará 10 000 pesos cuando gane el concurso.
9. Daré 10 000 pesos siempre que gane el concurso.

• RECIPROCA, INVERSA Y CONTRA RECIPROCA

Existen otras proposiciones relacionadas con la implicación p ® q, las cuales se definen a continuación.

VARIACIONES DE LA CONDICIONAL Dada la condicional p q, se definen:

1.      La recíproca: q® p

2.      La inversa:~ p® ~ q

3.      La contra recíproca (o contraposición):~ q® ~ p

EJEMPLO 6 Sean p: Este animal es un ave. Este animal tiene alas.

Dada p q, escribir su recíproca, su inversa y su contra recíproca.

Solución PROPOSICIÓN: Si este animal es un ave, entonces tiene alas.

RECÍPROCA: Si este animal tiene alas, entonces es un ave.

INVERSA: Si este animal no es un ave, entonces no tiene alas.

CONTRA RECÍPROCA Si este animal no tiene alas, entonces no es un ave.

No es necesario que la proposición original sea de la forma p q, y el antecedente o el consecuente pueden ser cualquier proposición. Cuando se escribe la recíproca, la inversa, o la contra recíproca, puede resultar una doble negación. En este caso esta última se debe reemplazar por la proposición original, utilizando la ley de la doble negación.

EJEMPLO 7 Dada p® ~ w, escribir su recíproca, su inversa y su contra recíproca

Solución RECÍPROCA: ~ q ® p

INVERSA: ~ p ® q

CONTRA RECÍPROCA: q® (~ p)

EJEMPLO 8 Dada ~ p ® q, escribir su recíproca, su inversa y su contrarrecíproca.

Solución RECÍPROCA: ~ q® (~ p)

INVERSA: p ® q

CONTRA RECÍPROCA: q® p

No todas estas proposiciones son equivalentes en significado, como se puede ver considerando el Ejemplo 9.

EJEMPLO 9 Escribir la recíproca, la inversa y la contra recíproca de la proposición: Si es un Oldsmobile, entonces es un automóvil.

Solución Sean p: Es un Oldsmobile.

q: Es un automóvil.

Entonces la proposición dada se escribe p ® q

RECÍPROCA: q ® p: Si es un automóvil, entonces es un Oldsmobile.

INVERSA: ~ p (~ q): Si no es un Oldsmobile, entonces no es un automóvil.

CONTRA RECÍPROCA: ~ q® (~ p): Si no es un automóvil, entonces no es un Oldsmobile. Esta es una proposición verdadera, siempre que la proposición original sea verdadera.

El Ejemplo 9 ilustra que la recíproca de una proposición verdadera no es necesariamente verdadera. Puede serlo, pero no es necesario que lo sea. Obsérvese en la Tabla 8 que la contra recíproca y la proposición directa siempre tienen el mismo valor de verdad, tal como sucede con la recíproca y la inversa. Por consiguiente una implicación puede ser siempre reemplazada por su contra recíproca, sin afectar su veracidad o falsedad.

Tabla 8

 TABLA DE VERDAD DE LA RECÍPROCA, LA INVERSA

Y LA CONTRA RECÍPROCA DE UNA PROPOSICIÓN DADA

                                                                                                                                                  

p	q	~ p	~ q	Proposición p ® q	Recíproca q ® p	Inversa ~ p ® (~ q )	Contra recíproca ~ q ® (~ p )
T	T			T	T	T	T
T	F			F	T	T	F
F	T			T	F	F	T
F	F			T	T	T	T

• LEY DE LA CONTRA RECÍPROCA Una proposición puede ser reemplazada por su contra recíproca sin que se 1 afecte su valor de verdad.

EJEMPLO 10 Sean p: Juan obedece la ley.

q: Juan va a la cárcel.

PROPOSICIÓN: Si Juan obedece la ley, entonces no va a la cárcel.

La proposición p ® ( ~ q) puede ser reemplazada por su contrarrecíproca, q ® (~ p ), en cualquier expresión lógica.

CONTRA RECÍPROCA: Si Juan va a la cárcel, entonces no obedece la ley.

La proposición no puede ser reemplazada por la recíproca o la inversa.

RECÍPROCA: Si Juan no va a la cárcel, entonces obedece la ley.

INVERSA: Si Juan no obedece la ley, entonces va a la cárcel.

• BI-CONDICIONAL.

En el Cap. 3 se tuvo especial cuidado en señalar que una proposición p® q y su recíproca q ® p no tienen los mismos valores de verdad. Sin embargo, puede suceder que p ® q y también q ® p. En este caso se escribe

p « q

y al conectivo se le llama bicondicional. Para determinar los valores de verdad de la proposición bicondicional, se debe construir la tabla de verdad de (p ® q) L (q ® p).

p	q	p ® q	q ® p	( p ® q) L ( q ® p)
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

Esto lleva a definir la bicondicional de manera que sea verdadera sólo cuando ambas p y q sean verdaderas, o cuando ambas p y q sean falsas (esto es, siempre que tengan valores de verdad iguales). Lo anterior se ilustra en la Tabla 9.

Tabla 9

• DEFINICIÓN DE LA BICONDICIONAL 

p	q	p « q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

En matemáticas, p « q se traduce de varias maneras, todas las cuales tienen el mismo significado:

TRADUCCIONES DE LA BICONDICIONAL

p sí y sólo si q

q sí y sólo si p

Si p, entonces q, y recíprocamente

Si q, entonces p, y recíprocamente

p es una condición necesaria y suficiente para q

p es una condición necesaria y suficiente para p

EJEMPLO 1 Reexpresar lo siguiente en una sola proposición

Si un polígono tiene tres lados, entonces es un triángulo.

Si un polígono es un triángulo, entonces tiene tres lados.

Solución Un polígono es un triángulo sí y sólo si tiene tres lados. 

Existe otra forma de denotar la bicondicional. Si dos proposiciones tienen iguales valores de verdad, decimos que son equivalentes. Nótese que p « q es verdadera siempre que ambas p y q tengan valores de verdad iguales. De manera que agregamos a la lista otra forma de escribir la bicondicional:

EQUIVALENCIA Si p y q tiene valores de verdad iguales, se dice que p es equivalente a q y se escribe p « q.

EJEMPLO 2 Demostrar que p ® q es equivalente a ~ p V q.

Solución Para establecer la equivalencia, se debe demostrar que ( p ® q) « ( ~ p V q) es siempre verdadera.

p	q	p® q	~ p	~ p V q	(p ® q) « ( ~ p V q)
T	T	T	F	T	T
T	F	F	F	F	T
F	T	T	T	T	T
F	F	T	T	T	T

• TABLAS DE VERDAD PARA CONECTIVOS

Definición y ejemplo

Gran parte de lo que se ha dicho acerca de la lógica y las relaciones entre proposiciones de razonamiento, se puede ilustrar por medio de tablas de verdad. Una tabla de verdad es un esquema que muestra cómo los valores de verdad de proposiciones compuestas, dependen de los conectivos usados y de los valores de verdad de las proposiciones componentes simples. Las Tablas 1, 2 y 3 del Cap. 1 son fundamentales para elaborar o construir tablas de verdad. Se las resume en las Tablas 5 y 6.

Tabla 5 CONECTIVOS FUNDAMENTALES

Conectivo Símbolo Nombre Proposición Simbólica Ejemplo y L conjunción p L q Los peces nadan y las aves vuelan o V disyunción p V q Los peces nadan o las aves vuelan no ~ negación ~ p Los peces no nadan

Tabla 6 TABLA DE VERDAD CORRESPONDIENTE A LOS CONECTIVOS FUNDAMENTALES

p q p L q p V q ~ p ~ q T T T T F F T F F T F T F T F T T F F F F F T T

EJEMPLO 1 Construir la tabla de verdad de la proposición compuesta:

Alfredo no vino anoche y no recogió su dinero.

Solución Sea p: Alfredo vino anoche.

q: Alfredo recogió su dinero.

Entonces la proposición se puede escribir (~ p) L (~ q). Para empezar, se enumeran todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones simples p y q.

p	q
T	T
T	F
F	T
F	F

Luego se incluyen los valores de verdad de ~ p y ~ q.

p	q	~ p	~ q
T	T	F	F
T	F	F	T
F	T	T	F
F	F	T	T

Por último, se anotan los valores de verdad de (~ p) L (~ q). Para realizar esto, se marca una columna "(~ p) L (~ q)" en la parte superior, y luego se comparan las columnas ~ p y ~ q según la definición de conjunción para encontrar los valores de verdad de (~ p) L (~ q), como se indica mediante las flechas:

					Conjunción
p	q	~ p	~ q	( ~ p)	L	( ~ q)
T	T	F	F		F
T	F	F	T		F
F	T	T	F		F
F	F	T	T		T

Comparar estos valores con la definición

de conjunción para obtener los valores de

que consta la última columna.

EJEMPLO 2 Construir la tabla de verdad de ~ ( ~ p )

Solución Empezamos con p:

P

T

F

En seguida se anotan los valores de p de acuerdo con la definición de la negación:

p	~ p
T	F
F	T

Por último, se anotan los valores de ~ ( ~ p). Las flechas muestran cómo se obtienen los elementos de esta columna.

negación

p	~ p	~ ( ~ p )
T	F	T
F	T	F

t t~(T;P)

Examínese esta columna. Úsese la definición

de negación para todos los valores de verdad

de dicha columna.

Nótese que ~ ( ~ p) y p tienen los mismos valores de verdad. Si dos proposiciones tienen los mismos valores de verdad, una puede reemplazar a la otra en cualquier expresión lógica. Esto significa que la doble negación de una proposición es igual a la proposición original.

•  LEY DE LA DOBLE NEGACIÓN

~ ( ~ p) se puede reemplazar por p en cualquier expresión lógica.

EJEMPLO 3 Construir una tabla de verdad para determinar cuándo es verdadera la siguiente proposición:

~ (p L q) L [(p V q) L q]

Solución Se empieza como antes y se hace un recorrido de izquierda a derecha, fijando la atención solamente en dos columnas a la vez (véase en la Tabla 5 cómo obtener los valores correctos).

Paso 1. Primeramente se tienen en cuenta los paréntesis. Se examinan las columnas A y B que se indican a continuación, junto con la definición de conjunción, para anotar los valores de la columna C.

Paso 2. Se utiliza la columna C y la definición de negación para anotar los valores de la columna D.

Paso 3. Se utilizan las columnas A y B y la definición de disyunción para anotar los valores de la columna E.

Paso 4. Se emplean las columnas E y B y la definición de conjunción para anotar los valores de la columna F.

Paso 5. Se utilizan las columnas D y F, que son las partes izquierda y derecha de la operación final, y [a definición de conjunción para obtener los valores de la columna G

CONCLUSION 

Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra, que llamamos variable, y la simbolizamos con las letras minúsculas del alfabeto que van de la hasta el final del abecedario.

Si digo por ejemplo: «Antonio ama a Piedad», esta proposición queda simbolizada en el lenguaje formal mediante la variable o , o , o . 

Además de estas variables, la lógica proposicional utiliza otros símbolos, llamados constantes, cuyo significado siempre es el mismo, ya que modifican o unen a las variables. Estos símbolos constantes se llaman funtores, juntores, conectivas u operadores lógicos. 

		F	I	N